1.   引言

光刻技术作为超大规模集成电路制造必不可少的关键技术。目前，光刻分辨率成为约束集成电路图形临界尺寸的重要因素。根据瑞利准则，波长(λ)和数值孔径(numerical aperture，NA)是决定光刻技术分辨率(resolution)的两个关键因素。缩短曝光波长、扩大数值孔径成为提高光刻分辨率的有效方法。但由于设备温度、装配公差等因素的影响，会导致光刻成像质量下降。此外，当微纳图形特征尺寸小于曝光波长时，受到衍射效应的影响，产生光学邻近效应(optical proximity effect，OPE)，造成晶圆表面图形发生畸变。因此，提高光刻成像质量，分辨率增强技术(resolution enhance techniques，RETs)是解决这些负面效应必不可少的手段^[1-3]。

传统RETs主要包含离轴照明技术(off-axis illumination technique，OAI)、光学邻近校正技术(optical proximity correction technique，OPC)和相移掩模技术(phase-shift mask technique，PSM)^[4]。随着光刻工艺不断发展，传统RETs已无法满足先进节点复杂图形的高成像质量需求，比如，在离轴照明中的各种照明方式，环形、偶极子、四极等。然而，逆光刻技术(inverse lithography techniques，ILTs)作为RETs的一种先进方法，被广泛应用到先进光刻成像质量优化领域。其中，在ILTs方法中，基于像素表征的光源优化(source optimization，SO)^[5-6]具有灵活度高、易于调制的优势，被应用于精确调制光源强度分布。

在基于像素表征的SO模型中，光源被细分为固定数量相邻像素点，通过优化每个像素点强度，以达到优化光源强度分布的目的。通过晶圆表面形成的光刻胶图形布局与目标图形之间的图形误差(pattern errors，PEs)作为评价光源优化结果的评价函数。根据迭代算法的规则，可用求解多变量目标函数替代PEs评价函数问题。对于局部优化模型，基于梯度方法沿着目标函数下降方向，求解其微分形式，具有迭代更新速度快的优点，被普遍应用到ITLs领域，梯度方法主要包含梯度下降(gradient descent，GD)算法^[7]、最速下降(steepest descent, SD)^[8]、共轭梯度(conjugate gradient, CG)^[9-10]、深度学习(deep learning, DL)^[11-12]等。Peng等基于灰度像素的自由光源结合GD的方法，以周期性接触孔阵列和SRAM布局为曝光图形，优化传统193 nm光刻的照明模式^{[5, 7]}。Ma等采用子空间压缩感知(subspace compressive sensing，SCS)的${\ell _p}$-范数重建算法的方法优化照明光源，提高了逆光刻技术计算效率、鲁棒性和成像质量^[13]。而在先进光刻中，根据空间像强度分布，通过sigmoid函数近似计算光刻胶图形布局。随着光刻工艺不断更新演化，受到复杂光刻胶效应影响，使得评价函数复杂化，导致梯度方法的优势被限制。此外，基于梯度方法只能满足目标函数局部最优解，其收敛效率不能充分最大化。Fuhner等提出一种优化掩模和光源的启发式算法，利用遗传算法的全局最优化性质，通过目标函数来评估指定焦深下任意图形的成像质量^[14]。作为启发式算法的粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)算法，与遗传算法相比，都是以随机值为迭代基础进行全局搜索最优解。而且PSO模型具有参数较少、结构简单、原理简单等优点，已被普遍应用于多目标控制、神经网络搜寻、复杂多峰目标求解问题等领域。

本文提出一种基于自适应非线性控制策略(adaptive nonlinear control strategy，ANCS)的PSO算法优化光刻光源形貌。自适应策略能够降低粒子陷入局部最优的概率，非线性控制策略能够扩大粒子的搜索范围。基于像素的SO模型中，采用光刻胶图形布局与目标图形之间的图形误差作为评价函数，对光源优化结构进行评价。对简单阵列图形与较复杂不规则图形进行仿真。与传统粒子群优化算法及遗传算法对比，ANCS-PSO具有更优越的收敛效率。

2.   部分相干成像模型

根据光刻成像理论，光刻成像模型是典型的部分相干成像模型，如图 1所示。光刻照明光源经汇聚镜组形成经典科勒照明，均匀入射掩模表面，受掩模透射率影响，产生带有掩模图形频谱信息的衍射光，并入射投影物镜系统。在光刻成像模型中，由于光瞳的低通滤波效应，只有低频衍射光通过投影物镜，在理想焦面形成空间像。光线入射晶面表面与光刻胶发生光化学反应，经过烘烤显影等处理后，特征图形显示在晶圆上。根据瑞利准则，光刻成像系统的极限分辨率为

图 1.  光刻成像模型

Figure 1.  The imaging model of lithography

下载: 全尺寸图片 幻灯片

其中：k₁表示工艺因子。在光刻成像系统中，照明模式与系统光瞳为关于光轴圆对称结构，故光源相干因子(σ)可定义为照明模式圆半径大小(r_s)与系统光瞳半径大小(r_p)的比值，即：

在部分相干成像系统中，空间像强度分布可由阿贝成像理论与霍普金斯成像理论计算获得^[15]。而根据阿贝成像理论，部分相干成像系统近似等于一系列完全相干成像系统在不同点光源处衍射相干光的叠加。对于光刻光源优化，采用阿贝成像方法，能够降低计算复杂度。在完全相干成像系统中，照明光源为理想点光源，则完全相干成像模型可表示为

其中：${I_{\rm{c}}}$表示完全相干成像模型中空间像强度分布。$\otimes$表示矩阵卷积积分运算，$m(x, y)$为N×N的掩模透射率矩阵。成像系统光瞳点扩散函数可由第一类一阶贝塞尔函数表示，即：

空间像强度分布有效区域定义为方形区域M，区域大小$(x, y) \in [ - {D_M}, {D_M}]$，其中${D_M}$为每行每列抽样点个数与像素点尺寸的乘积。因此，在成像系统光瞳面，r表示光瞳中心点$({x_0}, {y_0})$与光瞳有效点$(x, y)$之间的距离，即

对光瞳面像素点强度值进行归一化，则$h \in [0, 1]$。在部分相干成像系统中，点扩散函数的相位随着照明光源点位置的变化而变化^[16]，即

其中：${w_0} = {\rm{ \mathsf{ π} }}/D$，${\boldsymbol{s}} \bullet {\boldsymbol{p}} = {s_x}{p_x} + {s_y}{p_y}$，${\boldsymbol{s}} = ({s_x}, {s_y})$为在笛卡尔坐标系中相对于光源中心点有效光源像素点位置。因此，部分相干成像模型可表示为

其中：$I(x, y)$表示部分相干成像模型中空间像强度分布，$S({s_x}, {s_y})$为有效光源像素点$({s_x}, {s_y})$强度大小，$S({s_x}, {s_y}) \in [0, 1]$，${S_{{\boldsymbol{s}}, sum}}$代表照明光源有效像素点强度之和，${S_{{\boldsymbol{s}}, sum}} = \sum\nolimits_{{s_x}} {\sum\nolimits_{{s_y}} {S({s_x}, {s_y})} }$。根据空间像强度分布，可通过sigmoid函数计算晶圆表面图形布局，即光刻胶图形，由下式表示：

其中：${I_{\rm{T}}}(x, y)$为晶圆表面特征图形强度分布。而光刻胶图形模型可近似约等于空间像强度分布大于阈值${t_{\rm{r}}}$的区域为1，反之为0，即$\Gamma \{ I(x, y) - {t_{\rm{r}}}\}$。为评价优化模型仿真结果，采用图形误差(pattern errors，PEs，记为E_p)为评价函数，通过${\ell _1}$范数计算PEs，即：

3.   光源优化模型

在基于像素的SO模型中，采用一定数量像素点的方式离散光源图形。将搜寻评价函数全局最优解转换成求解多变量函数问题。对于ANCS-PSO模型，优化变量的数量决定计算的复杂度。在光刻成像模型中，光刻光源为关于光轴圆对称结构，可将光源划分为四个相等的部分，如图 2所示，为典型环形照明模式。因此，按照笛卡尔坐标系将光源图形划分为四个象限，仅利用第一象限的有效光源像素点作为优化变量，可沿着水平垂直方向反转第一象限像素点分布得到最终光源形貌^[17]。R_out表示环形光源最大半径，R_in表示环形光源最小半径。

图 2.  光源表示方式

Figure 2.  The representation of source

下载: 全尺寸图片 幻灯片

对掩模采用像素化表征，设定采样数为N，每个像素点尺寸为d，则掩模的物理尺寸为$D = N \times d$。根据照明光源最大相干因子${\sigma _{{\rm{out}}}}$和最小相干因子${\sigma _{{\rm{in}}}}$，环形照明光源最大和最小相干长度分别为

因此，光源图形由含有强度分布的矩阵表示，其大小为${N_{\rm{s}}} \times {N_{\rm{s}}}$，${N_{\rm{s}}} = floor[2 \times {D \mathord{\left/ {\vphantom {D {(2 \times {L_{\rm{{max}}}})}}} \right. } {(2 \times {L_{\rm{{max}}}})}} + 1] + 2$。

环形照明光源内外半径大小分别为

在笛卡尔坐标系中，光源图形中心点位置为

在光源有效环形范围内的第i个像素点坐标为$({s_{{x_i}}}, {s_{{y_i}}})$，其中：

在ANCS-PSO迭代模型中，将第一象限有效光源像素点等效为粒子，粒子初始值为随机值，由随机函数$rand( \cdot )$获得。第一象限有效粒子组成一个粒子群体，考虑到PSO计算复杂度及粒子搜寻能力，假设一个粒子种群由${N_{\rm{p}}}$个粒子群体组成。此外，粒子迭代搜寻速度同样采用随机函数赋值。但是，光源有效像素点强度的限制，使得粒子与搜寻速度被约束到固定范围内。粒子种群P与搜寻速度V，如下式所示：

其中：$P(i, j)$由随机函数$rand( \cdot )$产生大小为${N_{\rm{p}}} \times {{{N_{\rm{s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{N_{\rm{s}}}} 4}} \right. } 4}$的粒子种群矩阵，在PSO模型中，表示粒子种群，即第一象限有效光源像素点矩阵，$i \in [1, {N_{\rm{p}}}]$，$j \in [1, {{{N_{\rm{s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{N_{\rm{s}}}} 4}} \right. } 4}]$。${S_{\rm{{max}}}}$，${S_{\rm{{min}}}}$分别表示限制有效光源像素点的上下限。式(8)为粒子更新速度，${v_{\rm{{max}}}}$，${v_{\rm{{min}}}}$分别表示限制粒子更新速度的最大值与最小值。在每次迭代过程中，计算并记录评价函数当前极值与全局极值。在第k+1次迭代，第$(i, j)$个粒子的更新速度及粒子大小为

其中：${c_1}$和${c_2}$分别是自我认知因子与社会认知因子，${r_1}$和${r_2}$是(0, 1)范围的随机数，$w$为惯性权重系数，影响粒子搜索全局最优值能力。为了提高全局搜索能力，降低陷入局部最优概率，采用自适应非线性控制策略控制算法搜索效率，即：

式(11)中：k为ANCS-PSO模型迭代次数，${k_{\max }}$代表最大迭代次数，${c_{\rm{{sa}}}}$为自适应学习因子，${c_{{\rm{sa}}, \rm{{max}}}}$、${c_{{\rm{sa}}, \rm{{min}}}}$分别为最大值和最小值学习因子。式(12)中，通过非线性双曲正切函数$\rm{{tanh}}( \cdot )$在区间$[ - \varepsilon , \varepsilon ]$上控制惯性权重系数，在仿真中，$\varepsilon = 4$，${w_{\rm{{max}}}} = 0.9$和${w_{\rm{{min}}}} = 0.4$。

4.   仿真结果

为了验证ANCS-PSO在光刻光源优化中的有效性，基于像素的SO模型建立在193 nm浸没式光刻成像模型上，其工艺节点为45 nm，数值孔径NA=1.25。在SO中，环形光源的强度分布矩阵大小为16×16，内外相干因子分别为${\sigma _{{\rm{in}}}}$=0.8和${\sigma _{{\rm{out}}}}$=0.975，如图 3(a)所示。对两种45 nm特征尺寸的图形进行仿真，分别是简单阵列图形与较复杂不规则图形，其图形透射率分布矩阵大小为184×184，像素点物理尺寸为5.625 nm，如图 3(b)和3(c)所示。

图 3.  (a) 环形光源形貌；(b) 简单阵列图形；(c) 不规则光栅

Figure 3.  (a) The annular source shape; (b) The brief array pattern; (c) The irregular pattern

下载: 全尺寸图片 幻灯片

在成像过程中，采用阈值方法代替传统sigmoid函数方法计算光刻胶图形，设置阈值为${t_{\rm{r}}}$=0.19。在部分相干成像模型仿真中，两种图形仿真结果与理想图形之间的图形误差PEs值分别为1048和1662。对比三种优化算法的仿真结果，分别是ANCS-PSO，PSO和遗传算法，仿真结果如图 4所示。在ANCS-PSO模型中，减小陷入局部最优解的概率，提高在全局最优解附近搜索能力，自适应学习因子最大值和最小值分别被设置为${c_{{\rm{sa}}, \rm{{max}}}}$=2.5，${c_{{\rm{sa}}, \rm{{min}}}}$=1.25。粒子更新速度不仅限制粒子搜索能力，而且能够控制粒子更新位置大小的速度，故v_max=1，v_min=-1。

图 4.  光源优化仿真结果

Figure 4.  The simulation results of source optimization

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 4显示为逆光刻光源优化仿真结果。当目标图形布局类似单周期光栅时(图 3(b))，光源模式近似水平方向偶极照明，如图 4(a)，4(e)，4(i)所示。而目标图形布局接近水平方向光栅结构时(图 3(c))，照明光源模式近似于垂直方向偶极照明，如图 4(c)，4(g)，4(k)所示。根据优化后的光源形貌，对两种目标图形进行部分相干成像仿真，并通过sigmoid函数(式(5))得到光刻胶图形，分别为图 4(b)，4(f)，4(j)和4(d)，4(h)，4(l)。与初始PEs相比，三种算法两种成像图形误差值降低，分别为：Pattern 01：52.2%，41.7%，37.4%；Pattern 02：35%，25.3%，25.3%。

图 5显示三种优化算法模型收敛曲线效率。经过多次仿真实验，当迭代次数为300次时，收敛曲线已保持稳定状态。两种目标图形的仿真PEs初始值均由相同光源强度分布计算得到，其中有效光源像素点值为随机数。在两种PSO模型中，为了保证仿真结果有效性，其学习因子及惯性权重系数最大最小值相同。此外，在PSO模型中，优化模型计算复杂度与粒子种群个数相关，为保证模型的收敛效率，设置粒子种群N_p=50。迭代结果显示，ANCS-PSO相比其他两种算法具有更快迭代速度和效率。

图 5.  仿真收敛曲线

Figure 5.  The convergence curve of simulation

下载: 全尺寸图片 幻灯片

5.   总结

本文提出了一种改进的PSO算法应用于逆光刻技术的光源优化中，即自适应非线性粒子群优化算法(ANCS-PSO)。通过仿真两种目标图形布局，验证了该算法的有效性。此外，为了验证ANCS-PSO的优越性，与传统粒子群优化算法和遗传算法对比。仿真结果表明，两种仿真图形误差PEs值降低，分别Pattern 01：52.2%，41.7%，37.4%；Pattern 02：35%，25.3%，25.3%，有效地提高光刻成像质量。三种算法仿真结果进行了对比，本文所提方法不仅具有更高的收敛效率，而且在提高光刻成像质量中更具有优势。随着仿真图形复杂度的提高，图形误差降低百分比有所降低，在后续的工作中，将采用多目标函数优化的方式来提高优化表现结果。