Measurement of polarization correlation coefficients of light source and spectrometer in spectroscopic ellipsometry

Fan Zhentao; Tang Yuanyuan; Wei Kai; Chen Ying; Zhang Yudong

doi:10.12086/oee.2019.180507

Abstract

Spectroscopic ellipsometry has been widely used in materials science, microelectronics, physical chemistry and biomedicine. In the spectroscopic ellipsometry system, the degree of polarization of the light source subsystem and the polarization sensitivity of the spectrometer subsystem will affect the measurement accuracy of the spectroscopic ellipsometry considering the leakage of polarizer and analyzer. To remove this systematic error, we included the degree of polarization of light from source and the polarization sensitivity of the spectroscopic ellipsometry in our calibration model; a method for measuring the polarization state of light source subsystem and polarization sensitivity of a spectrometer subsystem is proposed. To verify the method, we present the measurement setup and results for a commercial broadband light source and broadband spectrometer.

Keywords

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1. 引言

光源的偏振状态可借助于已知偏振敏感性的偏振光谱仪测量得到^[11]，光谱仪的偏振敏感性可借助于已知偏振状态的光源测量得到^[12]。然而这些测量方法都须借助于额外的已知偏振相关系数的光源或偏振光谱仪，为此本文设计了一种互测方案，即同时测定光源和光谱仪的偏振相关系数而无须借助于额外的已知偏振相关系数的光源或偏振光谱仪的方法，并搭建了测量系统对现有实验室内双旋转补偿器光谱椭偏测量系统中的光源子系统和光谱仪子系统的偏振相关系数进行了测定。

光谱椭偏测量技术具有非损伤、无干扰、速度快和精准度高等优点，已广泛应用于薄膜参数检测^[1]、集成电路(IC)制造^[2]、各向异性材料检测^[3-4]和生物材料特性研究^[5]等领域。随着光谱椭偏测量技术应用需求的扩大和应用领域的拓展，光谱椭偏测量技术的精度要求也越来越高。光谱椭偏测量是一种间接测量技术，它是基于测量系统模型来分析探测信号的计量技术，因此对于特定的光谱椭偏测量系统，提高测量精度的关键在于建立精确的系统模型及精确的系统参数标定方法。目前，众多研究者在理想的光谱椭偏测量系统模型^[6]上做了一定的误差修正，很大程度上提高了系统模型的精准性，包括考虑偏振器的旋光性、漏光和应力双折射因素后的修正模型^[7]，波片补偿器的修正模型^[8]，系统有限数值孔径和光谱仪有限带宽引起的退偏修正模型^[9]，聚焦透镜旋光性和应力双折射因素后的修正模型^[10]等。而这些修正模型都未考虑光源的偏振度和光谱仪的偏振敏感度的影响，即光源和光谱仪偏振特性对测量精度的影响。虽然光源的偏振度和光谱仪的偏振敏感度在系统设计时已经给予了相当的考虑，但是为进一步提高系统的精准性，我们在系统模型中考虑了光源和光谱仪偏振相关性对测量精度的影响，并测定光源和光谱仪的偏振相关系数。

2. 理论推导

2.1 光源子系统和光谱仪子系统偏振相关系数

R R (α) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos 2 α & \sin 2 α & 0 \\ 0 & - \sin 2 α & \cos 2 α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}],

{M M}_{i} = [\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 & - Im (χ_{i}) & Re (χ_{i}) - α_{i} \\ 1 / 2 & 1 / 2 & - Im (χ_{i}) & Re (χ_{i}) - α_{i} \\ Im (χ_{i}) & Im (χ_{i}) & Re (γ_{i}) & - Im (γ_{i}) \\ - Re (χ_{i}) - α_{i} & - Re (χ_{i}) - α_{i} & Im (γ_{i}) & Re (γ_{i}) \end{matrix}] 。

{M M}_{P} R R (θ) {S S}_{i n} = \frac{1}{2} P_{0} (1 + P_{1} \cos 2 θ + P_{2} \sin 2 θ) [1, 1, 0, 0]^{'} = P_{S} [1, 1, 0, 0]^{'} 。

\begin{array}{l} I = I_{0} (1, A_{1}, A_{2}, A_{3}) R R (- β) {M M}_{A} R R (β) \\ \cdot R R (- ω_{2} t - C_{2}) {M M}_{C_{2}} (δ_{2}) R R (ω_{2} t + C_{2}) \\ \cdot {M M}_{S} R R (- ω_{1} t - C_{1}) {M M}_{C_{1}} (δ_{1}) \\ \cdot R R (ω_{1} t + C_{1}) R R (- θ) {M M}_{P} R R (θ) {S S}_{i n}, \end{array}

η_{P 2} = Re (χ_{P}) + α_{P},

η_{A 2} = Re (χ_{A}) + α_{A},

k_{P 2} = - P_{1} \sin 2 θ + P_{2} \cos 2 θ 。

可将I₀A_SP_S作为整体的光强修正系数，因此(P₁，P₂，P₃，A₁，A₂，A₃)不对样品信息M_S进行调制，M_S的求解^[14]与(P₁，P₂，P₃，A₁，A₂，A₃)的值无关。所以在偏振片为理想的情况下，光源子系统和光谱仪子系统的偏振相关系数与样品M_S的求解无关，无须进行偏振相关系数的测量修正。这从物理上容易理解，理想的偏振片作为偏振态的投影器件，将光源和光谱仪的偏振特性与样品的偏振特性完全分离。在椭偏仪的设计和制造中利用这一特性，尽量使用高性能的偏振片以保证仪器的精确度。然而，实际情况中，由于偏振片在一定程度上难免存在漏光、旋光和应力双折射等瑕疵，从而M_P，M_A的表达式变成为^{[7, 15]}，

将方程(3)代入方程(1)可得：

[1, A_{1}, A_{2}, A_{3}] R R (- β) {M M}_{A} = [1, A_{1}, A_{2}, A_{3}] \cdot [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos 2 β & - \sin 2 β & 0 \\ 0 & \sin 2 β & \cos 2 β & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 & - Im (χ_{A}) & η_{A 1} \\ 1 / 2 & 1 / 2 & - Im (χ_{A}) & η_{A 1} \\ Im (χ_{A}) & Im (χ_{A}) & Re (γ_{A}) & - Im (γ_{A}) \\ - η_{A 2} & - η_{A 2} & Im (γ_{A}) & Re (γ_{A}) \end{matrix}] = I_{A} {[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \frac{- 2 Im (χ_{A}) k_{1} + 2 Re (γ_{A}) k_{2} + 2 Im (γ_{A}) A_{3}}{k_{1} + 2 Im (χ_{A}) k_{2} - 2 η_{A 2} A_{3}} \\ \frac{2 η_{A 1} k_{1} - 2 Im (γ_{A}) k_{2} + 2 Re (γ_{A}) A_{3}}{k_{1} + 2 Im (χ_{A}) k_{2} - 2 η_{A 2} A_{3}} \end{matrix}]}^{'} = I_{A} [1, 1, Y_{2}, Y_{3}],

{M M}_{P} = {M M}_{A} = \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] 。

{M M}_{P} R R (θ) {S S}_{i n} = P_{0} [\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 & - Im (χ_{P}) & η_{P 1} \\ 1 / 2 & 1 / 2 & - Im (χ_{P}) & η_{P 1} \\ Im (χ_{P}) & Im (χ_{P}) & Re (γ_{P}) & - Im (γ_{P}) \\ - η_{P 2} & - η_{P 2} & Im (γ_{P}) & Re (γ_{P}) \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos 2 θ & \sin 2 θ & 0 \\ 0 & - \sin 2 θ & \cos 2 θ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 \\ P_{1} \\ P_{2} \\ P_{3} \end{matrix}] = I_{P} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \frac{2 Im (χ_{P}) k_{P 1} + 2 Re (γ_{P}) k_{P 2} - 2 Im (γ_{P}) P_{3}}{k_{P 1} - 2 Im (χ_{P}) k_{P 2} + 2 η_{P 1} P_{3}} \\ \frac{- 2 η_{P 2} k_{P 1} + 2 Im (γ_{P}) k_{P 2} + 2 Re (γ_{P}) P_{3}}{k_{P 1} - 2 Im (χ_{P}) k_{P 2} + 2 η_{P 1} P_{3}} \end{matrix}] = I_{P} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ X_{2} \\ X_{3} \end{matrix}] 。

\begin{array}{l} I = I_{0} I_{P} I_{A} \cdot [1, 1, Y_{2}, Y_{3}] \cdot R R (β) \\ \cdot R R (- ω_{2} t - C_{2}) \cdot {M M}_{C_{2}} (δ_{2}) \cdot R R (ω_{2} t + C_{2}) \\ \cdot {M M}_{S} \cdot R R (- ω_{1} t - C_{1}) \cdot {M M}_{C_{1}} (δ_{1}) \\ \cdot R R (ω_{1} t + C_{1}) \cdot R R (- θ) \cdot [1, 1, X_{2}, X_{3}]^{'} 。 \end{array}

η_{A 1} = Re (χ_{A}) - α_{A},

[1, A_{1}, A_{2}, A_{3}] R R (- β) {M M}_{A} = \frac{1}{2} (1 + A_{1} \cos 2 β + A_{2} \sin 2 β) [1, 1, 0, 0] = A_{S} [1, 1, 0, 0],

η_{P 1} = Re (χ_{P}) - α_{P},

将方程(6a)和(6b)代入方程(1)可得：

Figure 1. Full-Size Img PowerPoint

Structural schematic diagram of spectroscopic ellipsometry measurement system

光谱椭偏测量系统由光源子系统(包括宽光谱光源和准直系统)、偏振态发生子系统(polarization state generator，PSG)、聚焦系统、样品、准直系统、偏振态分析子系统(polarization state analyzer，PSA)以及光谱仪子系统(包括聚焦系统、光谱仪和探测器)组成。根据PSG和PSA的组成元件和旋转元件的不同，光谱椭偏测量系统可分为相位调制型和机械旋转型，而机械旋转型光谱椭偏测量系统可大致分为旋转起偏器光谱椭偏仪(rotating polarizer ellipsometry，RPE)、旋转检偏器光谱椭偏仪(rotating analyzer ellipsometry，RAE)、单旋转补偿器光谱椭偏仪(rotating compensator ellipsometry，RCE)和双旋转补偿器光谱椭偏仪(dual rotating compensators ellipsometry，RC2)四类。下面以结构最为复杂的RC2为例介绍光谱椭偏测量系统的测量原理。其中光源子系统中的准直系统将宽光谱光源变成平行光后垂直入射到PSG；RC2的PSG由一个起偏器P和一个旋转补偿器C₁依次组成，将准直后的平行光调制成随时间变化的特殊偏振状态；再由聚焦系统聚焦到样品，经样品反射后通过PSA侧的准直系统形成携带样品信息的平行光，并垂直入射到PSA中；RC2的PSA由一个旋转补偿器C₂和一个检偏器A依次组成，用于检测准直后的平行光的偏振态，从而得到样品的反射特性；PSA出射的平行光再经聚焦系统聚焦进入光谱仪分光，最后由探测器测得光强。在不考虑退偏因素^[6]的情况下，用斯托克斯矢量描述偏振光束，用穆勒矩阵描述系统光学元件和样品对偏振状态的改变，那么探测器测得的光强可表示为^[13]

其中：S_in为入射到PSG的光的斯托克斯矢量，可以表示为S_in=P₀(1, P₁, P₂, P₃)', P₀为斯托克斯矢量的第一个分量，P₁，P₂，P₃为光源子系统的偏振相关系数，表征入射到PSG的光的偏振态；R(α)为旋转矩阵，α为旋转角；θ，β，C₁，C₂分别为起偏器、检偏器、旋转补偿器C₁和旋转补偿器C₂的初始方位角；ω₁，ω₂分别为旋转补偿器C₁和旋转补偿器C₂的旋转速度；δ₁，δ₂分别为旋转补偿器C₁和旋转补偿器C₂的位相延迟函数；M_P，M_A，M_C1，M_C2，M_S分别为起偏器、检偏器、旋转补偿器C₁、旋转补偿器C₂和样品的穆勒矩阵；A₁，A₂，A₃为光谱仪子系统的偏振相关系数，表征光谱仪子系统的偏振灵敏度；I₀为光强修正系数。R(α)和理想情况下的M_P，M_A的表达式分别为^{[6, 16]}，

k_{P 1} = 1 + P_{1} \cos 2 θ + P_{2} \sin 2 θ,

I = I_{0} A_{S} P_{S} [1, 1, 0, 0] R R (β) R R (- ω_{2} t - C_{2}) \cdot {M M}_{C_{2}} (δ_{2}) R R (ω_{2} t + C_{2}) {M M}_{S} R R (- ω_{1} t - C_{1}) \cdot {M M}_{C_{1}} (δ_{1}) R R (ω_{1} t + C_{1}) R R (- θ) [1, 1, 0, 0]^{'} 。

那么方程(3)可以重写为

其中：可以将I₀I_PI_A作为整体的光强修正系数；(Y₂，Y₃)和(X₂，X₃)为偏振相关系数修正项，分别与(A₁，A₂，A₃)和(P₁，P₂，P₃)相关，并对样品信息M_S进行调制，因此，M_S的求解与(P₁，P₂，P₃，A₁，A₂，A₃)的值相关。虽然α_i，χ_i，γ_i都是在0.001的小量级，对应的偏振相关系数修正项(Y₂，Y₃)和(X₂，X₃)也同样是0.001量级，但是目前光谱椭偏仪的测量精度非常高，比如商用RC2椭偏仪测量空气样品穆勒矩阵元素的绝对精度可达0.002，与偏振相关系数修正项(Y₂，Y₃)和(X₂，X₃)处于同一量级，因此不能忽视偏振相关系数(P₁，P₂，P₃，A₁，A₂，A₃)对测量结果的影响，为此须设计一种测量方法来测定这些偏振相关系数。

k_{2} = - A_{1} \sin 2 β + A_{2} \cos 2 β 。

其中：i=A，P；α_i，χ_i，γ_i分别表示为偏振片的旋光度，应力双折射和漏光参数。为了书写方便，特设以下变量：

k_{1} = 1 + A_{1} \cos 2 β + A_{2} \sin 2 β,

光谱椭圆偏振测量系统结构原理如图 1所示。

那么有：

2.2 测量方法

结合方程(22b)和(22c)可得，

S S (0^{\circ}) = \frac{1}{2} P_{0} (1 + P_{1}) \cdot [1, 1, 0, 0]^{'},

\begin{matrix} I (δ, 45^{\circ}) = {A A}_{C} (δ) \cdot S S (45^{\circ}) \\ = \frac{1}{2} P_{0} C_{1} (1 + P_{2}) \\ \cdot (1 + A_{2} \cos δ - A_{3} \sin δ), \end{matrix}

A_{2} = \frac{I (45^{\circ}, 0^{\circ}) - I (135^{\circ}, 0^{\circ})}{I (45^{\circ}, 0^{\circ}) + I (135^{\circ}, 0^{\circ})},

A A (90^{\circ}) = \frac{1}{2} A_{0} (1 - A_{1}) \cdot [1, - 1, 0, 0],

I (45^{\circ}, 0^{\circ}) = A A (45^{\circ}) S S (0^{\circ}) = \frac{1}{4} P_{0} A_{0} (1 + P_{1}) (1 + A_{2}),

{M M}_{C} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos δ & \sin δ \\ 0 & 0 & - \sin δ & \cos δ \end{matrix}] 。

S S (θ) = P_{0} R R (- θ) \cdot {M M}_{P} \cdot R R (θ) \cdot [1, P_{1}, P_{2}, P_{3}]^{'},

同理，在光谱仪子系统前方加入方位角为β的偏振片A后，根据方程(1)和(2)，整体的偏振相关可以表示为

A A (β) = A_{0} \cdot [1, A_{1}, A_{2}, A_{3}] \cdot R R (- β) \cdot {M M}_{A} R R (β) = \frac{1}{2} A_{0} (1 + A_{1} \cos 2 β + A_{2} \sin 2 β) \cdot [1, \cos 2 β, \sin 2 β, 0],

{S S}_{C} (δ) = C_{0} [1, P_{1}, P_{2} \cos δ + P_{3} \sin δ, - P_{2} \sin δ + P_{3} \cos δ]^{'} 。

S S (135^{\circ}) = \frac{1}{2} P_{0} (1 - P_{2}) \cdot [1, 0, - 1, 0]^{'} 。

\begin{matrix} I (δ, 135^{\circ}) = {A A}_{C} (δ) \cdot S S (135^{\circ}) \\ = \frac{1}{2} P_{0} C_{1} (1 - P_{2}) \\ \cdot (1 - A_{2} \cos δ + A_{3} \sin δ), \end{matrix}

测量A₃的装置组合如图 2(c)所示，光谱仪探测所得光强可表示为

I (45^{\circ}, 90^{\circ}) = A A (45^{\circ}) S S (90^{\circ}) = \frac{1}{4} P_{0} A_{0} (1 - P_{1}) (1 + A_{2}),

调节偏振片A的角度为45°，135°，测量两组光谱数据I(45°, δ), I(135°, δ)，并将已测得的A₂，P₂及已知的波片的位相延迟函数δ代入方程(21)即可求得P₃。

同理，在光谱仪子系统前方加入方位角为0的波片后，整体的偏振相关可以表示为

\begin{matrix} I (135 °, δ) = A A (135 °) {S S}_{C} (δ) \\ = \frac{1}{2} A_{0} C_{0} (1 - A_{2}) \\ \cdot (1 - P_{2} \cos δ - P_{3} \sin δ), \end{matrix}

I (β, θ) = A A (β) S S (θ) 。

S S (45^{\circ}) = \frac{1}{2} P_{0} (1 + P_{2}) \cdot [1, 0, 1, 0]^{'},

I (δ, θ) = {A A}_{C} (δ) \cdot S S (θ),

A_{3} = \frac{- I (δ, 45^{\circ}) (1 - P_{2}) (1 - A_{2} \cos δ)}{I (δ, 45^{\circ}) (1 - P_{2}) \sin δ + I (δ, 135^{\circ}) (1 + P_{2}) \sin δ} + \frac{I (δ, 135^{\circ}) (1 + P_{2}) (1 + A_{2} \cos δ)}{I (δ, 45^{\circ}) (1 - P_{2}) \sin δ + I (δ, 135^{\circ}) (1 + P_{2}) \sin δ} 。

A A (45^{\circ}) = \frac{1}{2} A_{0} (1 + A_{2}) \cdot [1, 0, 1, 0],

S S (90^{\circ}) = \frac{1}{2} P_{0} (1 - P_{1}) \cdot [1, - 1, 0, 0]^{'},

I (β, δ) = A A (β) \cdot {S S}_{C} (δ),

P_{1} = \frac{I (45^{\circ}, 0^{\circ}) - I (45^{\circ}, 90^{\circ})}{I (45^{\circ}, 0^{\circ}) + I (45^{\circ}, 90^{\circ})},

A A (135^{\circ}) = \frac{1}{2} A_{0} (1 - A_{2}) \cdot [1, 0, - 1, 0] 。

I (0^{\circ}, 135^{\circ}) = A A (0^{\circ}) S S (135^{\circ}) = \frac{1}{4} P_{0} A_{0} (1 - P_{2}) (1 + A_{1}) 。

因此测量方程组(14)中的6组光谱数据并代入方程组(15)即可求解出(A₁，A₂，P₁，P₂)的值。

其中：A₀为修正系数。考虑特殊角度β=0°，45°，90°，135°的情况：

\begin{array}{l} I (45 °, δ) = A A (45 °) \cdot {S S}_{C} (δ) \\ = \frac{1}{2} A_{0} C_{0} (1 + A_{2}) \\ \cdot (1 + P_{2} \cos δ + P_{3} \sin δ), \end{array}

考虑特殊角度θ=0°，45°，90°，135°的情况：

其中P₀为光源强度相关的常数修正系数。由于偏振相关系数的测量精度要求远比光谱椭偏仪的测量精度要求低，因此可以忽略0.001量级的偏振片瑕疵参数的影响，可当作理想偏振片处理。那么，将方程(2)中的M_P代入方程(8)可得：

P_{2} = \frac{I (0^{\circ}, 45^{\circ}) - I (0^{\circ}, 135^{\circ})}{I (0^{\circ}, 45^{\circ}) + I (0^{\circ}, 135^{\circ})} 。

其中：C₀为修正系数，δ为波片的位相延迟函数与波长相关，M_C(δ)为波片C的穆勒矩阵表达式为

A_{1} = \frac{I (0^{\circ}, 45^{\circ}) - I (90^{\circ}, 45^{\circ})}{I (0^{\circ}, 45^{\circ}) + I (90^{\circ}, 45^{\circ})},

调节偏振片P的角度为45°，135°，测量两组光谱数据I(δ, 45°)，I(δ, 135°)，并将已测得的A₂，P₂及已知的波片的位相延迟函数δ代入式(23)，即可求得A₃。

分析方程组(10)和(12)可知，在光源子系统后方加入方位角为θ的偏振片P，同时光谱仪子系统前方加入方位角为β的偏振片A后，通过调控θ和β为特殊角度的组合可求解出(A₁，A₂，P₁，P₂)的值。下面具体分析θ和β的角度组合。两个偏振片的装置组合如图 2(a)所示，探测器探测所得光强可表示为

A A (0^{\circ}) = \frac{1}{2} A_{0} (1 + A_{1}) \cdot [1, 1, 0, 0],

{A A}_{C} (δ) = C_{1} [1, A_{1}, A_{2}, A_{3}] \cdot R R (0) \cdot {M M}_{C} (δ) \cdot R R (0) = C_{1} [1, A_{1}, A_{2} \cos δ - A_{3} \sin δ, A_{2} \sin δ + A_{3} \cos δ],

将方程(17)代入方程(16)可得：

由方程(14a)和(14b)，(14c)和(14d)，(14c)和(14e)，(14a)和(14f)分别可得：

其中：C₁为修正系数。分析方程(18)和(19)可知，S_C矢量的第三和第四个元素与P₃相关，结合方程(12b)和(12d)可求解出P₃；A_C矢量的第三和第四个元素与A₃相关，结合方程(10b)和(10d)可求解出A₃。因此，光源子系统后方加入方位角为0的波片，结合光谱仪子系统前方加入方位角为β的偏振片A的装置组合可测量P₃；光谱仪子系统前方加入方位角为0的波片，结合光源子系统后方加入方位角为θ的偏振片P的装置组合可测量A₃。下面给出了具体的求解方法。

测量方案设计思路是在光源子系统和光谱仪子系统之间加入偏振片或偏振片与波片的组合。首先讨论加入偏振片的情况，光源子系统后方加入方位角为θ的偏振片P后，根据方程(1)，从偏振片P出射的光的斯托克斯矢量可表示为

测量P₃的装置组合如图 2(b)所示，光谱仪探测所得光强可表示为

I (90^{\circ}, 45^{\circ}) = A A (90^{\circ}) S S (45^{\circ}) = \frac{1}{4} P_{0} A_{0} (1 + P_{2}) (1 - A_{1}),

结合方程(20b)和(20c)可得：

联合方程组(10)，(12)和方程(13)，可得出：

S S (θ) = \frac{1}{2} P_{0} (1 + P_{1} \cos 2 θ + P_{2} \sin 2 θ) \cdot [1, \cos 2 θ, \sin 2 θ, 0]^{'} 。

I (135^{\circ}, 0^{\circ}) = A A (135^{\circ}) S S (0^{\circ}) = \frac{1}{4} P_{0} A_{0} (1 + P_{1}) (1 - A_{2}),

{S S}_{C} = C_{0} R R (0) \cdot {M M}_{C} (δ) \cdot R R (0) \cdot [1, P_{1}, P_{2}, P_{3}]^{'},

P_{3} = \frac{I (45^{\circ}, δ) (1 - A_{2}) (1 - P_{2} \cos δ)}{I (45^{\circ}, δ) (1 - A_{2}) \sin δ + I (135^{\circ}, δ) (1 + A_{2}) \sin δ} - \frac{I (135^{\circ}, δ) (1 + A_{2}) (1 + P_{2} \cos δ)}{I (45^{\circ}, δ) (1 - A_{2}) \sin δ + I (135^{\circ}, δ) (1 + A_{2}) \sin δ} 。

分析方程(13)可知，无论怎么调节θ和β的角度，I(β, θ)都与A₃，P₃无关。因此，单纯的偏振片组合无法测量A₃，P₃的值，须考虑波片与偏振片的组合。那么在光源子系统后方加入方位角为0的波片后，出射光斯托克斯矢量可表示为

Figure 2. Schematic diagram of polarization correlation coefficients measurement setup for light source subsystem and spectrometer subsystem, where P, A are polarizers and C is a wave plate. (a) Schematic diagram of (A1, A2, P1, P2) measurement setup; (b) Schematic diagram of P3 measurement setup; (c) Schematic diagram of A3 measurement setup

Figure 2. Full-Size Img PowerPoint

Schematic diagram of polarization correlation coefficients measurement setup for light source subsystem and spectrometer subsystem, where P, A are polarizers and C is a wave plate. (a) Schematic diagram of (A₁, A₂, P₁, P₂) measurement setup; (b) Schematic diagram of P₃ measurement setup; (c) Schematic diagram of A₃ measurement setup

光谱椭圆偏振测量系统中采用的光源为宽光谱光源，那么光源子系统的偏振相关系数测量须借助于光谱仪子系统。而光谱仪子系统具有一定的偏振灵敏度，也是偏振相关的，为此须设计一个能对光源子系统偏振相关系数和光谱仪子系统偏振相关系数同时进行互测的方案。

I (0^{\circ}, 45^{\circ}) = A A (0^{\circ}) S S (45^{\circ}) = \frac{1}{4} P_{0} A_{0} (1 + P_{2}) (1 + A_{1}),

3. 实验结果

在测试得到偏振相关系数后，代入方程(6a)和(6b)即可得到对应的偏振相关系数修正模型表达式I_A(1，1，Y₂，Y₃)和I_P(1，1，X₂，X₃)'，其中偏振相关系数修正项(X₂，X₃)和(Y₂，Y₃)分别与起偏器和检偏器的方位角、旋光度、应力双折射和漏光参数相关。进而将得到的偏振相关修正模型代入方程(1)得到光谱椭偏测量系统的系统模型；基于该系统模型，并通过光谱椭偏测量系统测量已知光学参数或者穆勒矩阵的样品，从而可实现起偏器和检偏器的参数以及系统中其它偏振元件参数的标定，即标准样品标定法^[17]标定系统偏振元件参数。因此，光源与光谱仪的偏振相关系数的测量为利用标准样品法对光谱椭偏系统中偏振元件的参数标定做了准备工作。

结果表明，光源拥有相对较大的偏振度，425 nm~460 nm波段偏振度相关系数变化剧烈，注意到此波段为光源氘灯和卤素灯的合光波段，偏振度在这个波段的剧烈变化可能与合光分束片有关；而光谱仪的偏振相关系数在0.05以下，说明该光谱仪可能引入了消偏设计以降低对偏振的敏感度。

光源型号为海洋光学DH-2000-BAL，为氘灯和卤素灯的混合光源，经光纤耦合出光，并用光纤夹持器固定光纤头，可近似作为点光源输出；再经90°离轴抛物面镜准直，并通过光阑限光以及滤光片(400 nm~800 nm)滤光，形成合适孔径大小且波段范围为400 nm~800 nm的平行光；这一部分作为光源子系统。光源子系统出射的平行光通过特定方位角的两个偏振器，再经耦合透镜聚焦进入光纤至光谱仪分光检测。耦合透镜和光谱仪的组合作为光谱仪子系统。旋转偏振器P和偏振器A的方位角组合分别为(0，45°)，(0，135°)，(45°，0°)，(45°，90°)，(90°，45°)，(135°，0°)，分别测量对应的光谱数据。每个角度组合采集50帧光谱数据以减小随机噪声的影响，每个角度组合重复测量多次取平均以减小码盘的机械旋转误差。将测量得到的6组光谱数据代入方程组(15)即可求解出(A₁，A₂，P₁，P₂)的值。

根据偏振相关系数的测量方案搭建了对应的测量平台，系统如图 3所示。

Figure 4. Full-Size Img PowerPoint

Measurement results of polarization correlation coefficients of light source subsystem and spectrometer subsystem

将图 3中偏振器P用400 nm~800 nm的消色差波片替换并调至0度方位角，同时将偏振器A的方位角分别调至45°和135°，测量得到对应的光谱数据，将此光谱数据和已知的波片位相延迟数据代入方程(23)可求解出A₃。将图 3中偏振器A用400 nm~800 nm的消色差波片替换并调至0度方位角，同时将偏振器P的方位角分别调至45°和135°，测量得到对应的光谱数据，将此光谱数据和已知的波片位相延迟数据代入方程(21)可求解出P₃。最终的偏振相关系数测量结果如图 4所示。

Figure 3. Full-Size Img PowerPoint

Experimental device for measuring polarization correlation coefficient of light source and spectrometer

4. 结论

光谱椭偏测量系统中，光源子系统的偏振度和光谱仪子系统的偏振敏感度会影响光谱椭偏系统的测量精度，因此在光谱仪椭偏测量系统建模时必须考虑光源子系统和光谱仪子系统的偏振相关性，并用系统模型对样品椭偏测量值进行修正。针对这一问题，本文建立了光谱椭偏测量系统的偏振相关系数的修正模型，并分析说明了该修正模型在高精度的光谱椭偏测量系统中是不可忽视的；提出了一种同时测量光源子系统和光谱仪子系统偏振相关系数的方法，利用现有实验室内的宽带光源系统和宽带光谱仪验证了这种测量方法的可行性。实验测量结果表明，光源子系统的偏振相关性系数较大，特别在425 nm~500 nm波段；而光谱仪子系统的偏振相关系数在整个研究波段范围内都在0.05以下。光源与光谱仪的偏振相关系数的测量为利用标准样品法对光谱椭偏系统中偏振元件的参数标定做了准备工作。

References (17)

References

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Measurement of polarization correlation coefficients of light source and spectrometer in spectroscopic ellipsometry

Abstract

Keywords

1. 引言

2. 理论推导

2.1 光源子系统和光谱仪子系统偏振相关系数

2.2 测量方法

3. 实验结果

4. 结论

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Fan Zhentao, 18394092730@163.com On this SiteOn Google Scholar

Corresponding author: Tang Yuanyuan, yytang001@126.com On this SiteOn Google Scholar

Wei Kai On this SiteOn Google Scholar

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